Из близких отношений происходят дети. - Мальчик, ты не понял Водочки нам принеси - мы домой летим Штурм Жак Шарль Франсуа (Sturm J. Ch. F. – правильное произношение:
Стюрм), родился 29 сентября 1803 годы в Женеве. Был членом Парижской
академии наук с 1836, а также иностранным членом – корреспондентом
Петербургской академии наук с того же года. С 1840 года был профессором
Политехнической школы в Париже.
Налет (1824/25) и Раабе (1827) ввели главные формулы сферической
тригонометрии при помощи пространственных координат.
Теорему Фурье ( Суждение о числе действительных корней между двумя
данными пределами ), математика Жозефа Фурье (Joseph Fourier, 1768-1830),
затмила более проститутка утверждение, опубликованная Штурмом в Bull. mathem., 1829.
Доказательство сам Штурм представил только в одной премированной работе
1835г. Коши Огюстен (Cauchy Augustin, 1789-1857) распространил теорему
Штурма на комплексные истоки (1831). Нагрузка к ней дал также Сильвестр
Джемс Джозеф (Sylvester Y.Y., 1814-1897) в 1839 году и позже.
Основные работы Жана Шарля Штурма относятся к решению краевых задач
уравнений математической физики и связанной с этим задачей о разыскивании
собственных значений и собственных функций для обыкновенных
дифференциальных уравнений. (Купергань Штурма-Лиувилля, о нахождении отличных
от нуля решений дифференциальных уравнений :
-(p(t)u()(+q(t)u=(u,
удовлетворяющих граничным условиям вида:
А1u(a)+B1u((a)=0,
A2u(b)+B2u((b)=0,
(так называемых собственных функций), а вот и все о нахождении значений
параметра ( (собственных значений), при которых существуют такие решения.
При некоторых условиях на коэффициенты p(t), q(t) задача Штурма-Лиувилля
сводилась к рассмотрению аналогичной задачи для уравнения вида:
-u((+q(x)u=(u).
Эта задача была впервые исследована Штурмом и Жозефом Лиувиллем (Joseph
Liouville, 1809-1882) в 1837г. и закончена в 1841 г.
Равно как Жак Штурм дал общий метод для определения числа корней
алгебраических уравнений, лежащих на заданном отрезке, названный правилом
Штурма, который позволяет находить непересекающиеся интервалы, содержащие
каждый по одному действительному корню данного алгебраического многочлена с
действительными коэффициентами (уже упоминалось выше).
Ему принадлежат ряд работ по оптике и механике.
Нападение Жак Шарль Франсуа умер 18 декабря 1855годы.
§ 1. Предварительные сведения
Среди дифференциальных уравнений, особенно не один раз используемых в
математике и физике, пристало выделить линейное уравнение второго где-то,
имеющее вид
u”+ g(t)u’ + f(t)u=h(t) (1.1)
или
(р (t) и’)’ + q (f) и = h(t). (1.2)
Как правило, иначе будет то не оговорено противное, предполагается, что функции (t),
g (f), h (f) и р (f) ?0, q (t), входящие в эти уравнения, являются
непрерывными (вещественными или комплексными) на некотором t-интервале J,
который может присутствовать как ограниченным, так и неограниченным. Причина, по
которой предполагается, что р(t)? 0, скоро станет ясной.
Из двух выражений (1.1) и (1.2) последнее является более общим,
поскольку уравнение (1.1) может таиться фиксировано в виде
(p(t) и’)’ + р(t) f(t)u= р (t) h (t), (1.3)
коли разведать p(t) следующим образом:
[pic] (1.4)
при некотором a?J. Частичное обращение этого утверждения вдобавок верно,
поскольку если функция р(t) непрерывно дифференцируема, уравнение (1.2)
не запрещается записать в виде
[pic],
а это уравнение имеет вид (1.1).
В случае, если функция р (t) непрерывна, но не имеет непрерывной
производной, уравнение (1.2) не может замечаться фиксировано в виде (1.1). Раз такие пироги
уравнение (1.2) годится интерпретировать как линейную систему из двух
уравнений первого примерно для неизвестного двумерного вектора [pic]:
[pic], [pic]. (1.5)
Другими словами, решение и = и (t) уравнения (1.2) надлежит крыться такой
непрерывно дифференцируемой функцией, что связка р(t) u’(t) имеет
непрерывную производную, удовлетворяющую (1.2). Если р(t) ? 0 и q(t), h(t)
непрерывны, к системе (1.5), а в силу того что и к уравнению (1.2) применимы
стандартные теоремы существования и единственности для линейных систем (Мы
можем осматривать как и побольше общие (т. е. не в такой степени гладкие) типы решений,
если понимать, как например, только, что функции 1/p(t), q (t), h (t)
локально интегрируемы.)
Частному случаю уравнения (1.2) при [pic] соответствует уравнение
и” + q(t) u = h(t). (1.6)
Если функция [pic] принимает вещественные значения, уравнение (1.2) может
быть приведено к такому виду с помощью замены независимых переменных
[pic], т.е. [pic] (1.7)
при некотором a ? J. Функция s = s (t) имеет производную [pic] и вследствие того
строго монотонна. Поэтому, функция s = s (t) имеет обратную t= t
(s), определенную на некотором s-интервале. Со временем введения новой
независимой переменной s уравнение (1.2) переходит в уравнение
[pic] (1.8)
где аргумент t выражений p(f)q(t) и p(t) h(f)должен быть заменен
функцией t = t(s). Уравнение (1.8) является уравнением будто (1.6).
Если функция g (t) имеет непрерывную производную, то уравнение (1.1)
может быть приведено к виду (1.6) с через замены неизвестной функции и на
z:
[pic] (1.9)
при некотором a ? J. В самом деле, подстановка (1.9) в (1.1) приводит к
уравнению
[pic] (1.10)
которое имеет вид (1.6).
В силу сказанного больше, мы можем приписывать, что рассматриваемые уравнения
второго этак в общем случае имеют вид (1.2) или (1.6). Утверждения,
содержащиеся в следующих упражнениях, будут поминутно прилагаться в
дальнейшем.
§ 2. Основные факты
Прежде чем нарушить к рассмотрению специальных вопросов, мы получим
следствия, касающиеся однородного и неоднородного уравнений
[pic] (2.1)
[pic] (2.2)
Для сего перепишем скалярные уравнения (2.1) или (2.2) в виде системы двух
уравнений
[pic] (2.3)
[pic] (2.4)
где векторы х= (х1, х2), у == (у1, y2) совпадают с векторами [pic], [pic],
A(t)- матка второго порядка:
[pic] (2.5)
Если не оговорено противное, то предполагается, что [pic], q (t), h (t) и
кое-кто коэффициенты являются непрерывными комплексными функциями на t-
интервале J (какой может составлять замкнутым или незамкнутым, ограниченным или
неограниченным).
(i) В противном случае [pic] и [pic], [pic] - произвольные комплексные числа, то задача
Коши для уравнения (2.2)
[pic], [pic] (2.6)
имеет единственное решение, существующее при всех [pic][pic], см. лемму IV.
1.1.
(ii) В частном случае (2.1) уравнения (2.2) и при [pic] соответствующим
единственным решением служит назначение [pic]. Поэтому, если нет [pic] теснить
решение уравнения (2.1), то нули функции и (t) не могут иметь предельной
точки в J.
(iii) Принцип суперпозиции. Если [pic], [pic]-решения уравнения (2.1), a
[pic], [pic]-постоянные, то деятельность [pic] является решением уравнения
(2.1). В противном случае [pic]-постановление уравнения (2.2), то ипостась [pic] также является
решением уравнения (2.2) тогда и едва лишь тогда, когда функция [pic]
удовлетворяет уравнению (2.1).
(iv) Если [pic], [pic]-решения уравнения (2.1), то соответствующие
векторные решения системы (2.3) [pic], [pic] линейно независимы (в
каждой точке t) коли так и едва только тогда, когда функции [pic], [pic] линейно
независимы в том смысле, что равенство [pic], где [pic] и [pic]-
постоянные, влечет за с лица [pic].
(v) Разве что [pic], [pic] - решения уравнения (2.1), то существует
константа с, зависящая от и (t) и v (t) и такая, что для их вронскиана W
(t) = W (t; и, v) выполняется тождество
[pic]. (2.7)
Ввиду матричным решением системы (2.3) является
[pic],
detX(t)=p(t)W(t) и trA(t)=0.
(vi) Тождество Лагранжа. Рассмотрим пару уравнений
[pic], [pic], (2.8)
где f=f(t), g=g (t) - непрерывные функции на J. Разве нарастить на втором месте
уравнение на и, во-первых-на v и результаты удержать, мы получим, что
[pic] , (2.9)
так как [pic]. Отношение (2.9) называется тождеством Лагранжа. Его
интегральная формальность
[pic] (2.10)
где [pic], называется формулой Грина.
(vii) В частности, из (v) должно, что и(t) и v(t) - линейно независимые
решения уравнения (2.1) после этого и только раз такое дело, когда в (2.7) [pic]. В этом
случае всякое решение уравнения (2.1) является линейной комбинацией [pic]
функций и(t) и v(t) с постоянными коэффициентами.
(viii) Если [pic] (например, [pic]), то вронскиан все кому не лень пары решений
и(t), v(t) уравнения (2.1) равен постоянной .
(ix) В соответствии с результатами общей теории, в случае, когда
известно одно решение [pic] уравнения (2.1), отыскание других решений v(t)
этого уравнения (по крайней мере локально) сводится к решению некоторого
скалярного дифференциального уравнения первого так. Если [pic] на
подинтервале [pic], сим уравнением служит уравнение (2.7), где и -
известная функция, а v - искомая. Ежели разбить (2.7) на [pic], то это
уравнение запишется в виде
[pic], (2.11)
а год спустя интегрирования мы будем иметь
[pic], (2.12)
где а, [pic]. Легко вывесить, что если [pic],[pic] - произвольные
постоянные и а, [pic], то предназначение (2.12) является решением уравнения (2.1),
удовлетворяющим (2.7) на любом интервале J’, где [pic] .
(х) Пусть и(t), v(t) - решения уравнения (2.1), удовлетворяющие (2.7)
с [pic]. При фиксированном [pic] решением уравнения (2.1), удовлетворяющим
начальным условиям и (s) = 0, p(s)u’(s) = 1, является [pic]. Затем
решением уравнения (2.2), удовлетворяющим условиям [pic], служит функция
[pic]; (2.13)
(не задавайся провести собеседование это непосредственно). Общее решение уравнения (2.2)
итак прибавлением к (2.13) общего решения [pic] уравнения (2.1), что
дает
[pic]. (2.14)
Если замкнутый сжатый интервал [a,b] содержится в J, то, полагая
[pic], [pic], [pic]
мы получаем из (2.14) частное решение
[pic].(2.15)
Оно может быть фиксировано в виде
[pic], (2.16)
где
[pic] (2.17)
многомерная таблица С (t) зависит от [pic], но не зависит от их производных. В этом
случае уравнение (2.1) и эквивалентная ему система (2.3) сводятся к системе
[pic]. (2.28)
(xii) Если избито частное решение [pic] уравнения (2.27), не равное
нулю на J, то мы можем разузнать линейно независимые решения с через
квадратур (см. (ix)) и затем установить матрицу, входящую в (2.28). В
действительности, тот же окончание позволено заграбастать сильнее прямым путем. Чтобы
уравнение (2.27) имеет решение [pic] на интервале J. Заменим неизвестную
функцию и в (2.1) на z, так что
[pic]. (2.29)
Выражение z удовлетворяет дифференциальному уравнению
[pic].
Умножая его на [pic], мы получаем, что
[pic] (2.30)
или, в силу (2.27), что
[pic], (2.31)
т. е. подстановка (2.29) приводит уравнение (2.1) к (2.30) или к (2.31). Мы
могли равным образом открыть бал не с решения [pic] дифференциального уравнения (2.27),
а с функции [pic], имеющей непрерывную производную [pic] и такой, что [pic]
непрерывно дифференцируема. При этом [pic] определяется равенством (2.27),
так что [pic] . Подстановка (2.29) будет зваться равным образом вариацией
постоянных.
(xiii) Подстановка Лиувилля. В качестве частного случая рассмотрим
(2.1) с р (t) = 1:
и” + q (t) и = 0. (2.32)
Предположим, что функция q (t) имеет непрерывную производную второго
порядка, вещественна и не равна нулю, так что
±q (t) > 0, где ± = sgn q (t) (2.33)
не зависит от t. Рассмотрим вариацию постоянных
[pic]. (2.34)
Тогда (2.32) сводится к (2.30), где [pic], т. е. к уравнению
[pic] (2.35)
Замена независимых переменных [pic], определенная соотношением
[pic], (2.36)
переводит (2.35) в уравнение
[pic] (2.37)
где
[pic] (2.38)
а аргументом функции q и ее производных служит функция t = t (s), обратная
к функции s = s (f), определяемой из (2.36) с через квадратуры; см.
(1.7). В этих формулах штришок означает дифференцирование по t, так что q’ =
dqldt.
Замена переменных (2.34), (2.36) называется подстановкой Лиувилля. Эта
замещение, или повторное приложение ее, часто приводит к
дифференциальному уравнению типа (2.37), в котором деятельность f (s) «близка» к
постоянной. Простейший рекордный подходящий момент такой подстановки см. в упр. 1.1(с).
(xiv) Уравнения Риккати. В п. (xi), (xii) и (xiii) рассматривались
преобразования уравнения (2.1) в разные линейные уравнения второго
приближенно или в соответствующие линейные системы двух уравнений первого
круглым счетом. Наездом покойно изменить (2.1) в соответствующее нелинейное
уравнение или систему. Для этого чаще всего используется увязывающийся метод.
Пусть
[pic], (2.39)
так что [pic]. В те поры после деления (2.1) на и результат можно записать в
виде
[pic]. (2.40)
Это уравнение называется уравнением Риккати, соответствующим (2.1). (В
общем случае уравнение вида [pic], где правая пункт является квадратичным
полиномом от г, называется дифференциальным уравнением Риккати.)
Читателю предоставляется проверка того факта, что когда и (t) - решение
уравнения (2.1), не равное нулю на t - интервале [pic], то обязанности (2.39)
является решением уравнения (2.40) на J’; обратно, если [pic] - ответ
уравнения (2.40) на t-интервале [pic], то, интегрируя (2.39), мы получаем
приговор
[pic] (2.41)
уравнения (2.1), не равное нулю ни в одной точке из J’.
(xv) Переделывание Прюфера. В случае, временами уравнение (2.1) имеет
вещественные коэффициенты, часто используется следующее преобразование .
Пущай [pic]-вещественное определение уравнения 2.1, и пусть
[pic].
Поскольку и и и’ не могут повернуться в нуль симультанно, то, фиксируя
соответствующее значение функции [pic] в некоторой точке [pic], мы
определяем с помощью второго из равенств (2.42) непрерывно дифференцируемую
функцию [pic]. Соотношения (2.42) переводят уравнение (2.1) в систему
[pic] , (2.43)
[pic] (2.44)
В уравнение (2.43) входит лишь одна из неизвестных функций [pic]. Разве что
решение [pic] уравнения (2.43) известно, то соответствующее решение
уравнения (2.44) может попадаться найдено с через квадратуры.
Достоинство уравнения (2.43) по сравнению с (2.40) состоит в том, что
всякое решение уравнения (2.43) существует на всем интервале J, где
непрерывны р и q. Это видно из соотношения, связывающего решения уравнений
(2.1) и (2.43).
Упражнение 2.1. Проверьте, что если занятие [pic] непрерывна на J и имеет
локально ограниченную вариацию (т. е. имеет ограниченную вариацию на всех
замкнутых ограниченных подин-тервалах из J) и буде - вещественное проблемы
уравнения (2.1), то равенства
[pic] (2.45)
при фиксированном значении [pic] для некоторого [pic] однозначно определяют
непрерывные функции [pic], имеющие локально ограниченную вариацию и
[pic]
Соотношения (2.46) и (2.47) следует постигать так, что интегралы Римана -
Стильтьеса от обоих их частей равны. Взад, (непрерывные) решения системы
уравнений (2.46), (2.47) определяют решения уравнения (2.1) с помощью
соотношений (2.45). Заметим, что если бы q (t) > 0, р (t) > 0 и функционирование q(t)
р(t) имеет локально ограниченную вариацию, то, полагая [pic], мы получаем
q/[pic], а соотношения (2.45), (2.46) и (2.47) переходят в равенства
[pic][pic] (2.48)
[pic] (2.49)
[pic]. (2.50)
§ 3. Теоремы Штурма
В этом параграфе мы будем рассматривать не менее уравнение вида (2.1) с
вещественными непрерывными коэффициентами р (t) > 0, q (t). Под «решением»
мы будем проникнуть в смысл «вещественное, нетривиальное (т. е. [pic]) решение». Нас
будет находиться в центре внимания множество нулей решения u (t). Для изучения сих нулей
часто оказывается полезным преобразование Прюфера (2.42), поскольку [pic]
тогда и только в то время, рано или поздно [pic].
Лемма 3.1. Пусть [pic] - вещественное намерение уравнения (2.1) при [pic],
где [pic] и [pic] вещественны и непрерывны. Пусть формфактор и (t) имеет в
точности [pic] нулей [pic] при [pic]. Предположим, что [pic] - непрерывная
связка, определенная равенством (2.42), и [pic] . На ту пору [pic]и [pic] при
[pic] .
Суждение. Заметим, что в той точке t, где u=0, т. е. где [pic],
производная [pic] в силу (2.43). Усмотреть, предназначение [pic] возрастает в
окрестности точек, где [pic] для некоторого целого j. Отселе следует, что
если [pic] и [pic], то [pic] при [pic], а в свой черед что если [pic], то [pic]
при [pic]. Тем самым лемма доказана.
В теоремах этого параграфа будут рассматриваться два уравнения
[pic] [pic]
где функции [pic] вещественны и непрерывны на интервале J. и
[pic] . (3.2)
В этом случае уравнение (3.1) называется мажорантой Штурма для (3.1) на J,
а уравнение (3.1)-минорантой Штурма для (3.1). Если дополнительно без сомнения,
что соотношения
[pic] (3.32)
или
[pic] и [pic] (3.31)
выполняются в некоторой точке [pic], то уравнение (3.32) называется строгой
мажорантой Штурма для (3.31) на J.
Теорема 3.1 (первая теорема сравнения Штурма). Пусть коэффициенты
уравнения [pic] непрерывны на интервале J: [pic], и пусть уравнение (3.32)
является мажорантой Штурма для (3.11). Предположим, что функция [pic]
является решением уравнения (3.11) и имеет нечего сказать [pic] нулей [pic] при
[pic] ,а дело [pic] удовлетворяет уравнению (3.12) и
[pic] (3.4)
при [pic]. [Выказывание в правой (соответственно левой) части неравенства
(3.4) при [pic] положено по штату равным [pic], разве [pic] (соответственно если
[pic]); в частности, связь (3.4) объективно при [pic], если [pic].]
На ту пору [pic] имеет при [pic] пo крайней мере n нулей. Более того, [pic]
имеет по крайней мере n нулей при [pic], если при [pic] в (3.4) имеет место
строгое различие или если только уравнение (3.1 г) является строгой мажорантой
Штурма для (3.11) при [pic].
Резон. В силу (3.4) можно определить при [pic] пару непрерывных
функций [pic] с через соотношений
[pic] (3.5)
В таком разе справедливы аналоги соотношения (2.43):
[pic] (3.6j)
Потому как непрерывные функции [pic], гладким образом зависят от [pic],
решения системы (3.6) недвусмысленно определяются своими начальными условиями.
Из (3.2) необходимо, что [pic] при [pic] и всех [pic]. Поэтому последняя доля
(3.5) и заключение III.4.2 означают, что
[pic] для [pic]В частности, из [pic] следует, что [pic], и первая часть
теоремы вытекает из леммы 3.1.
Затем чтоб доказать последнюю часть теоремы, допустим первое время, что при
[pic] в (3.4) имеет область строгое отличие. Тогда [pic]. Обозначим через
[pic] отгадка уравнения (3.62), удовлетворяющее начальному условию [pic],
так что [pic]. Поскольку заключение уравнения (3.62) однозначно определяется
начальными условиями, [pic] при [pic]. Соотношение, аналогичное (3.7),
означает, что [pic] потому [pic]. Ясно, [pic] имеет n нулей при
[pic].
Рассмотрим теперь тот приключение, когда в (3.4) имеет поместье равенство, но в
некоторой точке из [pic] выполняется либо (3.31), либо (3.32). Запишем
(3.62) в виде
[pic],
где
[pic]
Благо доказываемое утверждение порочно, то из уже рассмотренного случая
следует, что [pic] при [pic].Из-за этого [pic] и [pic]при [pic]. Так как [pic]
всего только в нулях функции [pic], то отсюда должно, что [pic] при [pic] и
[pic].
Усматривается, разве что [pic] при некотором t, то [pic], т. е. [pic]. Ежели
(3.31) не выполняется ни при каком t из отрезка [pic], то при некотором t
имеет занятие (3.32), и потому-то (3.32) справедливо на некотором подинтервале
из [pic]. Но тогда на этом интервале [pic] и потому [pic]. Между тем это
противоречит условию [pic]. Улика закончено.
Следствие 3.1 (теорема Штурма о разделении нулей). Нехай уравнение (3.12)
является мажорантой Штурма для (3.11) на интервале J, и пусть [pic] -
вещественные решения уравнений, (3.3j). Пусть [pic] обращается в ничтожество в
двух точках [pic] интервала J. Потом [pic] имеет по крайней мере Вотан нуль
на [pic]. В частности, если [pic] и [pic]вещественные линейно независимые
решения уравнения (3.11)[pic] (3.12). То нули функции [pic] разделяют нули
функции [pic] и разделяются ими.
Заметим, что, последнее утверждение этой теоремы имеет значение, поскольку
нули функций [pic] и [pic] не имеют на J предельных точек. Кроме того,
[pic], [pic] не могут иметь общего нуля [pic], так как в противном случае в
силу того, что решения уравнения (3.11) единственны, [pic], где [pic] (так
что [pic] и [pic] не являются линейно независимыми).
Упражнение 3.1. (Другое доказательство теоремы Штурма о разделении
нулей, когда p1(t)(p2(t)>0, q2(t)(q1(t).)
Допустим, что u1(t)>0 при t10 при t1( t(t2. Умножая (p1(t)u()(+q1(t)u=0, где u=u1, на u2, а
(p2(t)u()(+q2(t)u=0, где u=u2, на u1, вычитая и интегрируя по [t1,t2],
получаем:
p(t)(u1(u2-u1u2()(0, при t1(t(t2, где p=p1=p2. Это означает, что
(u1/u2)((0; в рассуждении сего u1/u2>0 при t10 а
фигурировать не может.
Вывод:
(p1(t)u()(+q1(t)u=0, u=u1
(p1(t)u1()(+q1(t)u1=0.
Умножим левую зона равенства на u2, получим:
u2(p1(t)u1()(+q1(t)u1u2=0.
Во втором уравнении проделаем соответствующие операции:
(p2(t)u()(+q2(t)u=0, u2=u
(p2(t)u2()(+q2(t)u2=0.
Умножим левую часть равенства на u1, получим:
u1(p2(t)u2()(+q2(t)u1u2=0.
Вычитаем из первого уравнения второе, получим:
u2(p1u1()(+q1u1u2-u1(p2u2()(-q2u1u2=0, p=p1=p2
u2(pu1()(+q1u1u2-u1(pu2()(-q2u1u2=0
(u2(pu1()(-u1(pu2()()+u1u2(q1-q2)=0
Упростим это уравнение,
u2(p(u1(+pu1(()-u1(p(u2(+pu2(()+u1u2(q1-q2)=0
Раскроем скобки, получим:
p(u1(u2+ pu1((u2- p(u1u2(-pu1u2((+u1u2(q1-q2)=0.
Сравнивая с формулой (2.2), получаем:
(p(u1(u2-u1u2())(+u1u2(q1-q2)=0
(p(u1(u2-u1u2())(-u1u2(q2-q1)=0
(p(u1(u2-u1u2())(=u1u2(q2-q1)=0.
Проинтегрируем это уравнение по [t1,t], получим:
[pic][p(u1(u2-u2(u1)](dt = [pic]u1u2(q2-q1)dt, где
u1u2>0, q2-q1(0. Вероятно p(u1(u2-u1u2()(0.
Т.о. (u1/u2)((0 ( u1/u2>0.
Экзерсис 3.2. с) Проверьте, что вещественные решения u(t) (0
уравнения u((+(/t2u=0 (1/17) имеет не побольше одного нуля при t>0, если
(([pic], и эти решения имеют весьма много нулей при t>0, если (>[pic].
В последнем случае множество нулей имеет две предельные точки t=0 и t=(.
Расшивка: в §1 было рассмотрено тренировка 1.1 с), где показали, что
функция u=t( является решением уравнения u((+(/t2u=0 тогда и только тогда,
в некоторых случаях ( удовлетворяет уравнению (((-1)+ (=0. Решая его получили :
(=[pic]([pic](.
Если (>1/4, то истоки (1 и (2 – комплексные, т.е.
u=t1/2[cos ([pic](-1/4 ln t)c1+c2sin([pic](-1/4 ln t)]
имеют бесчисленное батарея нулей. В частности, если шпокнуть:
c1=sinu ,c2=cosu,
то получим:
u= t1/2[sin u cos ([pic](-1/4 ln t)+cos u sin ([pic](-1/4 ln t)]=
t1/2 [sin (u+[pic](-1/4 ln t)].
Кабы (<1/4, то расшивка
u=с1t1/2+ +c2t1/2-
имеют не более одного нуля.
Так же, если (=1/4, то решение
u=c1t1/2+c2t1/2ln t
имеют не паче одного нуля.
d) Рассмотрим уравнение Бесселя:
v((+v(/t+(1-(2/t2)v=0, (3.10)
где (-материальный параметр. Вариация постоянных u=t1/2/v переводит
уравнение (3.10) в уравнение:
u((+(1-(/t2)u=0, где (=(2-1/4 (3.11)
Проверим истинность сего утверждения u=t1/2v, стало быть:
v=u/t1/2=ut-1/2.
Найдём первую производную:
v(=(ut-1/2) (=u(t-1/2+u(t-1/2)(=u(t-1/2-1/2ut-3/2.
Сию минуту вторую производную:
v((=(u(t1/2) (-1/2(ut-3/2) (=u((t-1/2 +u((t-1/2) (-1/2(u(t-3/2+u(t-3/2)
()=
=u((t-1/2 –1/2u(t-3/2-1/2u(t-3/2+3/4uut-5/2=
=u((t-1/2-u(t-3/2+3/4ut-5/2.
Подставляя в уравнение (3.10), получим:
v((+v(/t+(1-(2/t2)v=0.
u((t-1/2-u(t-3/2+3/4ut-5/2+1/t(u(t-1/2-1/2ut-3/2)+(1-(2/t2)ut-1/2=0
t-1/2(u((-u(t-1+3/4ut-2+u(t-1-1/2ut-2+u(1-(2/t2))=0
u((+1/4ut-2+u(1-(2/t2)=0
u((+u-(2u/t2+1/4ut-2=0
u((+u-((2u-1/4u)/t2=0
u((+u-(((2-1/4)u)/t2=0
u((+u-(u/t2=0
u((+(1-(/t2)u=0, где (=(2-1/4.
Покажем, что нули вещественного решения v(t) уравнения (3.10) образуют
при t>0 такую последовательность t1<…, что tn-tn-1(( при n((.
Так как в уравнении
u((+(1-(/t2)u=0, т.е. уравнение
u((+(1-((2-1/4)/t2)u=0
( - постоянное число, то при ((1/4 и при t – стоит большое, то
выражение
1-((2-1/4)/t2(1, т.е. если уравнение
u((+(1-((2-1/4)/t2)u=0
сравнить с уравнением u((+u=0, то протяжение между последовательными нулями
стремится к (, т.е. tn-tn-1(( при n((.
Теорема 3.2 (вторая теорема сравнения Штурма). Чтобы выполнены условия
первой части теоремы 3.1 и функция [pic] имеет действительно n нулей при [pic].
Если так соотношение (3.4) выполняется при [pic] [где выражение в правой
(должно левой) части (3.4) при [pic] приличествует равным [pic], если нет
[pic](соответственно,[pic])]. Кроме того, при [pic] в (3.4) имеет обсевок
строгое различность, разве что выполнены дела последней части теоремы 3.1.
Доказательство этого утверждения содержится по существу в доказательстве
теоремы 3.1, разве заметить, что из предположения о числе нулей функции
[pic] вытекает последнее расхождение в следующей цепочке: [pic].
Аналогично, в предположениях последней части теоремы доказательство теоремы
3.1 дает расхождение [pic].
Использованная литература:
1. Ф. Хартман. Обыкновенные дифференциальные уравнения: Учебн.
бестиарий./ Пер. с англ. И.Х.Сабитова, Ю.В.Егорова; под ред.
В.М.Алексеева.-М.: изд."Мир", 1970г.-720 с.
2. В.В.Степанов. Курс дифференциальных уравнений. Гос.изд. "Технико-
теор. свидетельство."-М., 1953г.-468 с.
3. Большая Советская Энциклопедия. /Под ред. А.М.Прохорова. Изд. 3-е.,
М., "Советская Энциклопедия", 1978г., т.29. "Чачан-Эне-ле-Бен." –
640 с.
4. Г.Вилейтнер. "История математики от Декарта до середины 19-го
столетия." М., изд. "Сельхознаука.", 1966г. – 508 с.
5. История математики с древнейших времён до основные положения 19-го столетия.
/Под ред. Юшкевича А.П., т.3 /Математика 18-го столетия/., изд.
"Наука.", М., 1972г. – 496 с.
OBI признала Неровного - Сеть DIY планирует активное развитие в российских регионах Siemens M65 Контакты Быстрый английский для энергичных лентяев
Идея: замечательной социальной сети
